Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013

Оглавление

Занятие 1. Двойной интеграл. Повторное интегрирование .

4

Занятие 2.

Замена переменной в двойном интеграле.

.

13

Занятие 3.

Приложение двойного интеграла .

.

.

24

Занятие 4. Тройной интеграл .

.

.

.

.

33

Занятие 5.

Криволинейный интеграл 1-го рода, приложения .

45

Стокса, Остроградского - Гаусса.

.

.

.

.

63

Варианты контрольных работ .

.

.

.

.

77

Список рекомендуемой литературы .

.

.

.

82

1.

Определение двойного интеграла. Пусть функция

определена на измеримом по Жордану множест-

ве

на плоскости

. Разобьем на

измеримых по Жордану и

попарно непересекающихся

частей

. В каждой части

возьмем произвольную точку

и составим сумму

,

где

– площадь

. Эта сумма называется интегральной сум-

мой функции

соответствующей данному разбиению мно-

жества

на части

и данному выбору промежуточных точек .

Диаметром множества

точек назовем точную верхнюю грань

ва:

.

.

Пусть

Определение 1.1. Число

называется пределом

интегральных

сумм

при

если

такое, что для лю-

бого разбиения

, у которого

, и для любого выбора проме-

жуточных точек

выполняется неравенство

.

Если существует

, то он называется двой-

ным интегралом от функции

по множеству

и обозначает-

ся

или

, а функция

называет-

него значения и т.п.).

Пример 1.1. Вычислить интеграл

рас-

прямыми

, значение функции в правой

верхней вершине ячейки равно

. Очевидно, что диа-

метр разбиения (диагональ квадрата со стороной

)

при

. Следовательно,

Учитывая,

.

что сумма первых

натуральных

чисел равна

,

получим

■

интегрирования. Пусть функция

определена в области

где

–непре-

рывные функции на отрезке

(рис. 1.1). Такую область на-

зовем элементарной относительно оси

(или

– трапециевид-

ной).

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Теорема 1.3. Пусть:

1) существует двойной интеграл

;

2)

существует определенный

интеграл

.

5

Тогда существует определенный интеграл

(он называется повторным), и справедливо равенство

,

(1.1)

т.е. двойной интеграл равен повторному.

Если область

является элементарной относительно

оси

Рис. 1.3

Пример 1.2.

Свести двойной интеграл

к по-

вторному двумя способами, если

–

область, ограниченная кри-

выми

.

□ Область

изображена на рис. 1.4, а.

При каждом значении

переменная

изменяется от

до

,

т.е. область

можно представить

в виде

. По формуле (1.1) получаем

.

Чтобы воспользоваться формулой (1.2), надо область

разбить

на две части

и , как показано на рис 1.4, б. В области

пере-

менная меняется от -1 до 0, при каждом значении

переменная

изменяется от

до 1. В области

переменная

меняется от 0

6

до 1, при этом переменная изменяется от

до 1. По формуле

(1.2) получаем

1

. ■

1

1

а)

б)

Рис. 1.4

теграле

.

□ Область

можно представить следующим образом (рис. 1.5).

Если меняется от

до

, то

, если

меняется от

до

,

то

.

Кривые

пересекаются в точке

.

Таким образом, переменная

меняется от

до . Найдем, в каких

пределах меняется переменная

. Для этого разрешим выражения

и относительно :

.

Применяя формулу (1.2), будем иметь:

. ■

Пример 1.4. Вычислить

, где

– тре-

угольник, ограниченный прямыми

.

□ Треугольник изображен на рис. 1.6.

Рис. 1.6

Отрезком

разделим

на два треугольника и

, элемен-

тарных относительно оси

. Тогда

;

. ■

следовательно,

Пример 1.5. Вычислить

, где задано неравенст-

вами

.

□ Область (неконцентричное кольцо)

изображена на рис. 1.7.

8

Рис. 1.7

Обозначим:

– круг:

– круг:

. То-

гда

.

Продолжим функцию

с на

, пола-

гая

для

. Тогда

.

Круги и

зададим

в виде:

.

По формуле (1.2) находим:

,

так как функция

во внутреннем интеграле нечетна.

упрощает его вычисление.

Пример 1.6. Вычислить

.

рый можно задать и неравенствами

.

9

3. В аудитории

=

. ■

1. В двойном интеграле

расставить пределы ин-

тегрирования в том и другом порядке для указанных областей:

1.1. – треугольник с вершинами

;

1.2.

– параболический сегмент,

ограниченный кривыми

1.3.

;

Область

ограничена линиями